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关于我的研究和阐述性论文的更新，开放性问题的讨论，以及其他与数学相关的话题。由陶哲轩撰写

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数学已经改变。让我们像它已经改变那样行动

2026年11月1日 客座博客 , 观点 | 标签：Frank Calegari | 作者：陶哲轩

[这是Frank Calegari的客座文章。这篇博客文章最初是以不同的文件格式撰写的，并通过AI进行了转换。——T.]

为何我们不应感到悲伤

OpenAI于10月6日发布的700多篇研究论文是数学史上的一次分水岭。人工智能现在无疑能够在数学的许多领域做出开创性贡献。那么，为什么一些数学家如此不开心？

其中一部分原因是人工智能公司对数学实践的明显漠视。尽管OpenAI的论文中包含了一些惊人的想法，但它们的写作质量糟糕，违反了我们社区对署名的期望。其中一些甚至存在错误。我们对如何招聘数学家、发表论文和培养学生的控制力，远超过对价值数万亿美元的公司的行为的控制力，因此我们的努力应该更专注于前者。

许多反应似乎反映了这样一种感觉：他们所热爱的学科正在遭受攻击，并被“掏空”。最近OpenAI发布的论文对朗兰兹纲领中函子性和互反性等一般性问题几乎没有产生影响。但即使它解决了朗兰兹纲领中的所有问题，认为这会“解决数论”也是幼稚的，就像认为元素周期表的构建解决了化学一样。数学家应该更好地解释：当我们讨论任何领域中的核心问题时，我们实际上只是在讨论我们理解的最自然边界——而突破这些边界并不是终点，而是探索新领域的第一步。当然，这需要时间。我寻找了那些“受到更大冲击”的数学领域。很难不被Hugo Duminil-Copin的哀叹所触动：

在我职业生涯中公开提到的所有重大未解问题（无论是演讲、讲座、文章，甚至是在资助申请中提到的），没有一个未受到此次发布的冲击。所有问题都被声称已被证明。我本期望看到其中的一些出现在列表中。但不是全部。不是一次性全部。不是如此漫不经心地。

我将如何回应这一点？

有限单群分类。

我无法对渗流理论说太多，但我想数学家应该注意另一个历史先例。1972年，Dan Gorenstein宣布了有限单群分类的计划。在大约十年的激烈活动之后，Gorenstein于1983年宣布了“分类”（尽管有些仓促，因为准薄群的情况直到二十年后才由Aschbacher和Smith完成）。

有限单群分类在许多方面取得了巨大成功，但它也存在不足之处，因为它——向我的群论朋友和合作者致歉——大大降低了该领域的研究兴趣。曾经引人注目的“著名问题”已经消失，数学家们整体上将注意力转向了其他领域。然而，有限群论中仍然存在非常丰富的问题，甚至关于分类本身也仍有诸多未解之谜（仅举一例：约翰·康威最喜欢的问题是为什么存在怪兽群？）。或许对于某些领域来说，OpenAI的数据泄露让人联想到1970年如果有人将分类结果打印出来并像传单一样散落在地板上时，群论学家可能产生的感受——不是以论文形式，而是用精神复印机打印出来，略显模糊，然后随意撒满整个地板。

目前，我们需要像戈伦斯坦（Gorenstein）、利昂斯（Lyons）和索洛蒙（Solomon）那样付出努力，推进分类的修订工作。如果这就是我们唯一需要做的事情，那将是一项相当乏味的任务。但与此同时，我们也有责任不要宣称该领域已经完成，而是要利用这些新工具，让该领域成为进一步研究的肥沃土壤。当数学家们哀叹银河高速路建设过程中错过的蜿蜒小路时，他们需要意识到那些旧路仍然存在，并去寻找它们。在提供工作机会时，我们也需要奖励这种探索旧路的行为。

人工智能的承诺，以及数学的（分）裂与统一：

从15岁开始，我就渴望了解“存在”的本质。起初，我有过一个孩童时代的幻想，即找到欧拉遗漏的公式。但很快，我学到了更多：格罗滕迪克的周期猜想，结合对混合塔特动机几何的足够深入理解（这得益于唐·扎吉尔、阿列克谢·戈恩查罗夫、弗朗西斯·布朗等人的工作），为当前现象提供了完全令人满意的结构化猜想解释。π的无理性，甚至其超越性，只是真正有趣问题的微弱影子。阿佩里证明π的无理性多年来一直激励着我，不是因为其结论，而是因为它揭示了某种尚未被发现的、将代数L函数与算术联系起来的隐秘故事的最初线索。

我希望人工智能能够帮助数学家摆脱被第一个无法证明的自然猜想所束缚的困境，转而致力于解开我们学科中更深层的谜题。在过去三十年里，人类在数学领域的进步令人瞩目。但与此同时，我也感到一种日益增长的不安：我看到数学家们，无论水平高低，都无法向稍微超出自己领域的人解释他们正在做的事情为何有趣，这种现象令人沮丧。我们职业的天然轨迹已经明显偏向更狭窄的技术专长，而非更宏大的愿景。人工智能为我们数学家提供了一个绝佳的机会，让我们能够拓宽视野，重新审视自己的领域。

作为一名数学家，我始终努力（尽管并非总能成功）保持视野的广度。我之所以能获得一些帮助，是因为虽然我从17岁起就明确想从事代数数论和朗兰兹纲领的研究，但我在墨尔本大学的成长经历让我受益匪浅。这所大学曾是瑟斯顿学派和低维拓扑学家的聚集地，我因此沉浸在双曲三维流形的"甜蜜酒液"中。这种深入的接触对我的职业生涯产生了难以估量的影响。正如任何两个深奥的数学领域之间都存在紧密联系一样，双曲三维流形与算术之间的关联远比表面看起来更加密切。但即便如此，要同时精通这两个领域仍极具挑战性，更不用说尝试将它们结合的疯狂想法了。

让我暂时深入技术细节。对于每一个虚二次域，都存在大量由非分裂四元数代数索引的紧致算术双曲三维流形的共度类。这些共度类中的每个流形都会通过将双曲四面体分解为元素，从而在中产生元素，其体积始终是的有理数倍。我一直有一个想法，认为这些不同共度类中的元素可以被看作某种几何科利瓦金系统（"希格纳点"），与相关联，这种系统可以通过某种未知的整数算术版本的雅克特-朗兰兹对应关系联系在一起。我并未深入研究这个问题，原因有两个：首先，涉及的底层猜想如此之多，任何我能证明的结果都将是建立在这些猜想之上的，而数学界对此并不总是充分理解；其次，要精确表述这样的想法需要大量的技术背景准备。

现在，借助人工智能，尝试解决这类问题的门槛已大大降低。这不再是试图证明定理，而是探索一些可能毫无意义也可能充满新机遇的全新方向。数学领域中仍有如此多的问题既新鲜又重要，但此前却难以触及，这种探索机会令人无比兴奋。我们需要更加大胆，制定出那些一年前甚至无法想象的宏大研究计划。

这并不是说每个人都必须（或必须不）使用人工智能。但我们必须重新思考并调整什么才是重要的。无论是否使用人工智能，重大猜想的证明仍将是新数学的一部分。但面向更广泛的项目（新旧皆有）和结构理解的工作，将发挥更加基础的作用。克里斯蒂安·塞格迪提出了以下观点：

数学界一直以精英主义为荣，对探索者怀有深深的敬意：那些能够攀登他人无法攀登高峰的人。这种特定类型的英雄主义将变得不那么重要，而其他技能将变得更加关键：选择值得探索的领域，指挥庞大的飞机编队，并向世界解释他们的发现。

我已准备好登机，因为我渴望看看前方有什么。同时，我也要补充一点：那些过去一直闭着眼睛在地球上行走的人，即使飞得再高，也无法认出任何东西；我仍然相信，数学家们现在拥有的许多技能不仅能够转移，而且对新的世界秩序至关重要。

乐观主义者与悲观主义者在反应上的差异在于，对悲观主义者而言，游戏已经结束；而对乐观主义者而言，游戏才刚刚开始。我承认，我们数学文化中有一些珍贵的方面将无法幸存，人类对这种损失感到悲伤是情有可原的。但如今，一种惊人的新工具已经出现，可以用来研究数学。认为当前数学界的存在比数学本身更重要，这将是一个可怕的错误。

令人不快的真相。

尽管人人都在博客和其他地方强调数学是关于理解的，但只需看一下arXiv，就能看到我们行业中许多人正匆忙发表AI辅助论文，以一种不太体面的方式争夺“第一个”证明某些结论的荣誉。正如许多人指出的那样，产生新颖证明的能力与展示理解力或推动学科向新方向发展的能力之间，正在迅速出现鸿沟。随着人们不断产出更多结果，“莱顿宣言”在精神上被越来越多地忽视，只剩下形式上的遵守，而“一切照旧”似乎成为常态，只不过时间尺度被大大压缩，人们头顶始终悬着被抢先发表的威胁。

对我而言，如果某人选择了一个有价值的问题，完全使用AI获得证明，彻底理解它，并利用它来提出有趣的新问题或探索新方向，那么他做出了实质性的数学贡献。即使他在原始证明中没有提供任何新元素，我也会给予他大量认可。选择有价值的问题可能最终比产生证明更为重要。

我们对猜想的执着往往大大低估了那些使回答（甚至提出）这些问题成为可能的探索性工作。现在，我们通过鼓励或奖励所有人尽快按下按钮以发表这些新结果，可能将这种错误放大一百倍。我鼓励所有拥有终身教职的资深数学家，承担起创造未来问题和探索新思想的工作，而不仅仅是使用AI来回答现有问题。如果你作为资深数学家，因担心被AI抢先发表而感到压力，那么你并不够有野心。

那么，我们实际上将采取什么行动？

如果思考文章没有提出某种机制来真正影响人们的行为，那么它们最终是毫无意义的。最有效的工具将是经济性的，而非修辞性的。数学家渴望认可，数学家渴望工作，数学家渴望资助。目前影响这些因素的工具是招聘和期刊接受论文。

让我提出一些非常基本的具体建议，随后附上一些细节。

将所有工作都视为AI辅助的。招聘时更多关注个人互动，而非论文文件。亲自面试博士后和研究生。对期刊提出更高要求，并放弃那些不适应的期刊。在研究生教育中更加重视广度，但不要放弃技术技能。举办更好的研讨会。对AI的结果承担更多责任。

评估：

纳尔逊·科尔（Nelson Cole）曾因在三个星期日的闲暇时间发现质因数分解而闻名

在数学领域，这种贡献曾是数学研究的一部分。若手动对同一数字进行因式分解，虽然在算术上同样令人印象深刻，但对数学本身的贡献（即使此前未被发现）将远不及前者，因为计算机代数系统可以在不到一秒的时间内完成这一任务。显然，人工智能正在改变“容易”或“困难”的经济定义——关于定理经济即将崩溃的讨论已经很多。随着时间推移（或许很快），我们将形成新的认知，即哪些内容仍能构成对数学的实质性贡献，无论是提出有趣的问题、开发新程序，还是其他完全不同的领域。未来，我认为没有理由仅因论文结果可由机器生成（无论是否确实如此）而给予奖励。即使结论已可通过机器获得，新证明仍可能因其引入的创新思想而值得高度认可。那么，为什么不从现在开始呢？重要的是，我认为这并不意味着要依赖人工智能才能在数学领域取得进展——只要我们继续重视人类的理解能力。虽然我认为这是最具争议的建议，但我也认为这是不可避免的。这需要放弃一种长期存在的奖励结构，但这种结构在未来将毫无意义。目前，使用人工智能仍带有污名，许多人工智能披露声明的措辞更像是试图淡化机器的贡献。如果我们以潜在的人工智能辅助论文为标准进行评估，就必须要求作者解释数学为何有趣、提出了哪些问题，以及它如何与更广泛的领域相关联。我们难道不希望人们本来就应该这么做吗？

招聘：

除非我们改变在招聘层面的评估方式，否则无法让人员发生改变。过去一些懒惰的委员会有时会引用一篇JAMS论文、一篇Annals论文或其他出版物集合作为证明候选人出色的依据。我寻找的是你希望数学走向何方的叙事，解释为何这可能实现的技术能力，能够与数学多个领域进行对话，以及可证明的过往经历记录。这绝不是什么激进的新想法。招聘过程必须更加注重个人互动，而非仅仅关注论文文件。

我们应当将面试范围扩大到不仅包括终身教职职位，还应涵盖博士后和研究生职位。我相信我们都曾经历过这样的情况：录取了一名声称在研究高阶同伦理论的研究生，但入学后却发现其连圆周的同调计算都不会。同时，我也曾面试过一些终身教职候选人，起初我对他们持保留态度，但经过30分钟的办公室交流后，我确信眼前之人不仅对数学有深刻洞察力，还能清晰地与同事沟通。一旦我们采取这种做法，就有责任培养研究生更有效地表达数学的能力，这是我们应当更加重视的领域。需要指出的是，深刻理解数学与流畅解释数学是两种相关但不同的技能。理想情况下我两者都希望看到，但最终我更看重的是前者。

期刊：

在人工智能出现之前，期刊系统就已经亟需改革。我们当前的激励机制导致越来越多的渐进性数学成果不断涌现，这已经使系统陷入泛滥。要实现彻底的变革，仅靠与编辑委员会达成共识是不够的（你是否知道让学术界人士就任何事情达成一致有多困难？）。论文被期刊接受早已不再是正确性的保证（如果曾经是的话），而只是对质量的一种背书。我之前已经阐述了我认为未来应该如何评估论文的哲学理念。基于此，我认为arXiv上相当一部分论文根本不应该被发表。如果期刊对论文的写作、思想和阐述提出更高要求，我认为这将使所有人——编辑、审稿人，甚至最终作者——的生活都变得更好。

如果编辑委员会无法调整，那么一个更激进的想法是（至少暂时）彻底放弃期刊。（我仍然认为强调卓越实用性和清晰度的期刊（例如《Essential Number Theory》）仍有其存在的价值）。我并不是主张人们停止撰写论文，但去除期刊出版的遮羞布，将迫使论文本身站稳脚跟。这篇论文是否讲述了一个引人入胜的故事？是否经过Lean验证？我们应该产出更少但更优质的论文，而不是更多。自主生成的AI证明（希望经过Lean验证）也应占有一席之地，并应作为我们集体知识体系的一部分被记录下来。（参见hexagonmath）。

研究生、第一年课程和研讨会。

我们面临的棘手问题之一是如何培养研究生。传统的论文写作方式一直是让学生解决一个“悬而未决”的问题，这实际上是一个练习，旨在教授学生解决某个旧问题变种所需的技术技能，并期望他们随着学习的深入，能够将学到的技巧扩展到新案例，最终有望涉足更广泛的问题领域。在如今只需按下按钮就能生成论文的时代，我们需要重新评估，思考未来优秀的研究生应该具备哪些能力。即使拥有AI资源，如果学生连“紧致算术双曲三维流形”和“Kolyvagin系统”这些术语的含义都不了解，他们也无法探索这两者之间的联系。（即使他们偶然能理解，又何必在意呢？）如今，让学生对数学作为一门学科有更广泛的认知变得尤为重要。我希望研究生在完成博士学位后，能够拥有超越其专业领域的数学视野，同时在至少某个问题类别上具备可验证的技术能力。现实中，许多学生毕业时虽然掌握了某一子领域的技术技能，但对本领域其他方面的了解，甚至对数学其他领域的认知，往往只是短暂遗忘的技术教学，缺乏真正的洞察力。我之前提到过，我们需要像AI参与研究一样评估工作成果。但这并不意味着我们不需要教授学生在没有AI辅助的情况下进行深度数学研究，正如计算机的存在并不意味着我们应停止教孩子算术。

这对我们教学内容和学生学习方式都产生了影响。研究生课程应让学生理解该主题在数学其他领域可能带来的可能性。我们应期待他们即使遗忘了一些技术细节，仍能保留对问题和联系的整体感知。

如果我们更注重评估学生能否亲身展示理解能力，就必须更加重视培养他们向他人解释数学的能力，无论是面对面交流、在研讨会中发言，还是与同龄人讨论。我们需要为学生创造学习这种技能的机会。请记住，最成功的学生成长群体往往是那些相互学习、彼此探讨数学问题的群体。

我们还应牢记，并非所有完成数学博士学位的人都会进入学术界。我们还应思考博士培养的时长和结构是否真正服务于那些未来从事非学术领域工作的人。

研讨会：

传统上，研讨会是某人展示其最新研究成果的地方。由于数学的难度，这几乎总是涉及对先前方法的微小改进，往往缺乏足够的背景信息来让内容变得有趣。研讨会不应完全聚焦于新工作，而应围绕更广泛、更有吸引力的问题展开，解释我们在哪些领域受阻、哪些领域可以取得进展、哪些领域充满希望，最后再简要说明是否有任何创新点。我一直鼓励我的学生以这种方式做报告！作为资深教师，我们都需要在研讨会上积极发声，要求演讲者提供更深入的内容。

所有权。

数学家作为职业群体，应当更主动地承担这些成果的责任。机器所产出的内容，建立在人类数千年来数学探索的智慧基础上。一旦你开始以全人类的名义而非归功于某位硅谷巨头或数学领域的Twitter狂人来宣称这些成果，你就会立刻感到豁然开朗。

世界正在关注着我们。

我最近的院长曾前往纽约，与芝加哥大学的捐赠者和其他朋友会面，她与每一位交谈者——无论是否是数学专业背景——都谈及了数学。世界正在关注着我们。有无数人关心数学，他们未必具备深厚的数理背景（3Blue1Brown频道拥有超过六百万订阅者！）。我所有从事人文学科的朋友都坚信，数学家作为人类最古老智识活动的守护者和知识边疆的探索者，对社会而言至关重要。我理解，我们所珍视的文化中某些部分可能消失，作为人类对此产生情感反应是自然的。但此刻正是向所有人阐明新机遇、新可能和新希望的时刻。我们正站在数学新纪元的门槛上，我期待见证接下来会发生的一切。

注释：

关于Duminil-Copin的言论背景，可参见这个Numberphile视频。他的完整引述还提到：“我们是一个坚韧的社区，我毫不怀疑我们能够适应。”

此处提到的许多主题在其他文章中也有所探讨。举三个例子：

Nestor Guillen的文章也曾探讨数学家应更主动承担AI成果的责任。Ben Antieau的文章指出AI赋予我们更宏大抱负的机会。Bryna Kra的文章则探讨了需要重新审视激励机制以建立正确奖励结构的观点。