OpenAI模型推翻离散几何核心猜想

Title: OpenAI 模型推翻了离散几何学中的一个核心猜想

近80年来，数学家们研究了一个看似简单的问题：如果在平面上放置 $n$ 个点，有多少对点可以恰好相距1？

这就是平面单位距离问题，由保罗·爱多士(Paul Erdős)在1946年首次提出。它是组合几何学中最著名的问题之一，表述简单但解决起来异常困难。2005年，Brass、Moser和Pach合著的《离散几何学研究问题》一书称其为"可能是组合几何学中最著名（也最容易解释）的问题"。普林斯顿大学的主要组合论学家诺加·阿隆(Noga Alon)将其描述为"爱多士最喜欢的问题之一"。爱多士甚至为解决此问题设立了奖金。

今天，我们分享关于单位距离问题的一项突破。自从爱多士的开创性工作以来，人们普遍认为，下面展示的"方格"构造在最大化单位距离点对数量方面基本上是最佳的。一个OpenAI内部模型推翻了这个长期存在的猜想，提供了一个无限系列的例子，实现了多项式级别的改进。该证明已由一组外部数学家验证。他们还撰写了一篇配套论文，解释了论证过程，并提供了关于该结果意义的更多背景和上下文。

该结果的发现方式也值得关注。证明来自一个新的通用推理模型，而不是专门为数学训练的系统，也不是为了搜索证明策略而搭建的系统，或专门针对单位距离问题的系统。作为测试先进模型是否能为前沿研究做出贡献的更广泛努力的一部分，我们在一系列爱多士问题上对其进行了评估。在这种情况下，它产生了一个解决这一开放性问题的证明。

这一证明是数学和AI社区的一个重要里程碑。它标志着AI首次自主解决了一个数学子领域的著名开放问题。它还展示了这些系统现在支持的推理深度。数学为推理提供了一个特别清晰的测试平台：问题精确，潜在证明可以验证，长篇论证只有在推理从头到尾都成立时才有效。问题的解决方式也值得关注。该证明将代数数论中意想不到的、复杂的思想应用于一个基础的几何问题。

菲尔兹奖获得者蒂姆·高尔斯(Tim Gowers)在配套论文中称这一结果是"AI数学的里程碑"。据主要数论家阿鲁尔·尚卡尔(Arul Shankar)所说，"在我看来，这篇论文表明，当前的AI模型不仅仅是人类数学家的助手——它们能够拥有原创性的巧妙想法，并将其贯彻到底"。

数学家对该结果的评价

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先前已知的通过调整比例的方格构造产生多个单位距离的方案。

单位距离问题

设 $u \left(\right. n \left.\right)$ 为平面上 $n$ 个点中可能的最大单位距离点对数。实现线性增长率的例子很容易构造：将 $n$ 个点排成一行得到 $n - 1$ 对点，而方格则得到约 $2 n$ 对点。先前已知的最佳构造来自调整比例的方格，结果证明它能产生更多：对于常数 $C$，有 $n^{1 + C / log ⁡ log ⁡ \left(\right. n \left.\right)}$。由于 $log ⁡ log ⁡ \left(\right. n \left.\right)$ 随 $n$ 增大而趋向无穷大，指数中的附加项趋向于 $0$，这意味着这些构造实现的增长率仅略高于线性。几十年来，人们普遍认为这个速率基本上是最佳的，没有任何构造能显著优于方格。用技术术语来说，爱多士猜想了一个上界 $n^{1 + o \left(\right. 1 \left.\right)}$，其中附加的 $o \left(\right. 1 \left.\right)$ 表示一个随 $n$ 增大而趋向 $0$ 的项。

我们的新结果推翻了这个猜想。更准确地说，对于无限多个 $n$ 值，该证明构造了 $n$ 个点的配置，具有至少 $n^{1 + \delta}$ 个单位距离点对，其中 $\delta > 0$ 是某个固定的指数。（原始AI证明没有给出明确的 $\delta$，但普林斯顿大学数学教授威尔·索温(Will Sawin)即将进行的改进表明，可以取 $\delta = 0.014$。）

问题的历史有助于理解为什么这个结果令人惊讶。自爱多士1946年的原始构造以来，最佳下界基本上没有变化。最佳上界 $O \left(\right. n^{4 / 3} \left.\right)$ 可追溯到斯宾塞(Spencer)、塞梅雷迪(Szemerédi)和特罗特(Trotter)在1984年的工作，尽管后来塞凯利(Székely)、卡茨(Katz)和西利尔(Silier)、帕赫(Pach)、拉兹(Raz)和索伊莫西(Solymosi)等人进行了改进和相关结构研究，上界基本上保持不变。作为支持该猜想的证据，马托塞克(Matoušek)和阿尔翁-布契奇-绍尔曼(Alon-Bucić-Sauermann)研究了平面上的非欧几里得距离问题，并证明了"大多数"这些非欧几里得距离在某种意义上服从该猜想。

令人惊讶的是，构造的关键成分来自数学中一个截然不同的领域，称为代数数论，它研究称为代数数域的整数扩展中的因子分解等概念。

在验证初始证明后，我们研究了我们的模型在解决这个问题时的成功率，使用了不同量的测试时计算。结果如下所示。

代数数论的新技术

高层次上，证明从一个熟悉的几何概念开始，然后朝着意想不到的方向推进。

Erdős的原始下界可以通过高斯整数来理解：形如$a + b i$的数，其中$a$和$b$是整数，$i$是$-1$的平方根。高斯整数扩展了普通整数，并且像普通整数一样，具有诸如唯一质因数分解等性质。这类对普通整数或有理数的扩展被称为代数数域。新的论证用代数数论中更复杂的推广取代了高斯整数，这些推广具有更丰富的对称性，可以创建更多单位长度的差值。

精确的论证使用了无限类域塔和Golod-Shafarevich理论等工具，来证明论证所需的数域确实存在。这些想法代数数论学家们早已熟知，但这些概念对欧几里得平面中的几何问题产生影响却是一个巨大的惊喜。

这对数学意味着什么

这一结果标志着AI与数学互动的重要时刻：一个AI系统自主解决了一个活跃领域中心长期存在的开放问题。它也为我们提供了AI与人类数学家之间新型合作的早期展望。在这种情况下，外部数学家的配套工作描绘了一幅比原始解决方案丰富得多的图景。

正如Thomas Bloom在配套笔记中写道：

"_在评估AI生成证明的重要性和影响时，我问自己的一个问题是：这是否教会了我们关于这个问题的什么新东西？我们现在是否更好地理解了离散几何？我认为答案是适度的肯定：这表明数论构造对这类问题的阐述远比我们想象的要多；而且所需的数论可能非常深入。毫无疑问，在接下来的几个月里，许多代数数论学家将仔细研究离散几何中的其他开放问题。_"

解决方案揭示的代数数论与离散几何之间的意外联系是这一结果引人注目的部分原因。它不仅解决了一个特定的猜想，还可能为数学家们提供一座桥梁，开始探索更多相关的问题。

Bloom还指出了一个更广泛的可能性：

_"知识的边界非常崎岖，毫无疑问，在接下来的几个月和几年里，我们将在数学的许多其他领域看到类似的成功，在那里，长期存在的开放问题通过AI揭示意外联系并将现有技术机制推向极限而得到解决。AI正在帮助我们更充分地探索几个世纪以来我们建立的数学大教堂；还有哪些看不见的奇迹在等待登场？_"

这一结果提供了一个有希望的例子：AI不仅贡献了一个解决方案，还贡献了一个数学发现，其意义通过后续的人类理解变得更加清晰和丰富。

为什么这很重要

这一启示比这个特定的结果更为重要。更好的数学推理能力可以使AI成为更强有力的研究伙伴：能够整合复杂的思路，连接不同知识领域的思想，突出专家可能没有优先考虑的有前景的路径，并帮助研究人员在那些 otherwise 过于复杂或耗时难以解决的问题上取得进展。

这些能力在数学之外也很重要。如果一个模型能够保持复杂论证的连贯性，连接不同知识领域的思想，并产生经受专家审查的工作，那么这些能力在生物学、物理学、材料科学、工程学和医学中也是有用的，它们是我们朝着更自动化研究迈进的长期道路的一部分：能够帮助科学家和工程师探索更多想法并追求更难的技术问题的系统。

AI即将开始在研究的创造性部分扮演非常严肃的角色，最重要的是在AI研究本身。虽然这一进展并不出乎意料，但它强化了我们理解AI发展的下一阶段、对齐非常智能系统的挑战以及人机协作未来的紧迫感。

那个未来仍然取决于人类的判断。专业知识变得更加宝贵，而不是更少。AI可以帮助搜索、建议和验证。人们选择重要的问题，解释结果，并决定接下来要追求什么问题。