随机绳端连接：平均形成多少个环？

结构提纲

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1. §问题描述

   将n根绳子随机两两端点连接，直到无剩余端点，问最终形成的环的期望数量。

2. ·示例与观察

   从10根绳子开始演示，最终形成3个环；引出核心问题：n=50时的期望环数。

3. ·解法思路

   使用线性期望原理，定义指示变量Xᵢ表示第i步是否形成新环，求和得期望值。

4. ›关键概率

   当剩余2k个端点时，随机选两个端点形成环的概率为1/(2k−1)。

5. ·结果与推广

   期望环数为Hₙ = ∑ₖ₌₁ⁿ 1/(2k−1)，近似为½(ln n + γ + ln 4)，n=50时≈4.5。

6. §资源说明

   作者将不定期发布长视频整合解答系列谜题，早期版本可在Patreon获取。

思维导图

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