覆盖十个点，一个令人惊讶的难题

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覆盖10个点，一个令人惊讶的难题。

3Blue1Brown 741,822 浏览量 3周前

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作为每月系列谜题的一部分制作于2026年的数学年。……更多

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覆盖 10 个点，一个出人意料的难题。

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[@notonlyhuman6073](https://www.youtube.com/@notonlyhuman6073)

3周前

我甚至无法想象如何着手证明这个问题

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❤ by @3blue1brown

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[@abellematheux7632](https://www.youtube.com/@abellematheux7632)

3周前

我相信，如果有足够的点，这是不可能的，这表明选择数字10并不是随意的，这真是令人恐惧。

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2.1千

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[@mscott54321](https://www.youtube.com/@mscott54321)

3周前

我的直觉告诉我不行。哦，等等，那是我的背。我真的需要去治疗那个突出的椎间盘。

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[@andrewharrison8436](https://www.youtube.com/@andrewharrison8436)

3周前

糟糕，现在我半夜会醒来思考点和圆的问题。

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[@VariablesVision](https://www.youtube.com/@VariablesVision)

3周前

老实说，这是互联网上最好的东西之一。我的教授们也看你的视频。非常感谢。

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[@greenchess1832](https://www.youtube.com/@greenchess1832)

4天前

这个问题困扰了我大约一周的时间，但我现在终于有了一个想法。迫不及待地想看看3B1B的解释，不过我会尽力尝试一下。我会用尽可能密集的方式填充平面，使其充满圆圈。这是六边形排列，计算浪费的空间后，我得到大约9.31%。重要的是，这个比例小于十分之一。因为我们是在用这些圆圈填充整个平面，所以我们可以只看其中一个部分。这将是围绕单位圆的一个六边形。当我在这个六边形内移动我的圆圈拼图时，相邻的副本会跟随它。这样，看起来就像是一个可以“环绕”到六边形对面边缘的圆圈。我们现在可以简化问题为一个圆圈在一个六边形内的问题。这是有效的，因为拼图是无限重复的。我可以将放在六边形外的任何点通过遵循拼图的周期性移动到内部。请注意，由于圆圈可以“环绕”，它在六边形内的面积总是相同的。我们的问题归结为：对于在这个六边形内的任意10个点的排列，我能否找到一个点——称之为(X,Y)，其到所有十个点的距离都等于或小于1？这个问题等价于问：对于在这个六边形内的任意10个点的排列，我在这些点上创建10个单位圆。我是否总能找到一个点(X,Y)，它位于所有10个圆内？假设我不能。那么对于任意点(X,Y)，它至少存在于一个圆之外。对于每个点及其圆，它占据了整个六边形的面积，除了9.31%。为了确保没有点(X,Y)至少在一个圆之外，10个圆的9.31%必须填满整个六边形。这是不可能的。因此，对于任意一组10个点，总存在一个点(X,Y)，它距离所有10个点的距离都小于或等于1。因此，如果我用单位圆以六边形排列填充整个平面，我总能移动拼图来覆盖任意10个点。这个问题比原始问题更严格，所以答案是肯定的，你可以总是用不重叠的单位圆覆盖10个点。虽然这不是一个非常优雅的解决方案，并且我跳过了其中的一些细节，但希望这个证明是成立的？

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[@azpcox](https://www.youtube.com/@azpcox)

3周前

奇怪的是，对这个谜题的回答对别人解决未解的数学难题具有重要意义。真是令人惊讶，这一切都是相互关联的。

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[@whatiselephants](https://www.youtube.com/@whatiselephants)

3周前（编辑过）

我认为我找到了一种可能的解决方案：考虑三个点形成一个边长为√3的等边三角形，这意味着一个单位圆（外接圆或旁切圆）将恰好覆盖这三个点。现在我们已经确定了一个单位圆的中心。如果这些点之间的距离更大，就会有更多的单位圆；如果更小，单位圆的中心就变成了可能性范围内的一个圆。现在小心地放置另外六个点，形成三个不同的三角形，分别由三个不同的单位圆包围。这些单位圆需要相切，从而形成另一个由单位圆中心构成的三角形。最后，在中间的盲点处放置第十个点。根据我凌晨4点疲惫的大脑所能想到和表达的，那个点至少应该超出所有可能的单位圆排列的范围。这是一个非常有趣的谜题。我相信我还没有考虑到很多方面，而且这绝对不是一个数学证明，但我玩得很开心！

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[@vasilischatzipanagiotou9051](https://www.youtube.com/@vasilischatzipanagiotou9051)

3周前

10个点一定是关键。要么你可以用9个点而不能用10个点，要么你可以用10个点而不能用11个点。

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[@BlitzKrieger1](https://www.youtube.com/@BlitzKrieger1)

23小时前

单位圆的六边形镶嵌覆盖了p=π/2√3的平面，并且不重叠。0.9<p<1。给定一个随机选择的六边形镶嵌，它覆盖其中一个点的概率是p。因此，预期的覆盖点数大于9。由于每个镶嵌覆盖的点数都是整数，这意味着至少有一个六边形镶嵌覆盖了10个点。

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[@alexpotts6520](https://www.youtube.com/@alexpotts6520)

3周前

圆填充密度为90.69%，所以有这么多的平面可用，感觉你应该能够安排这些圆来覆盖十个点。

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[@racheline_nya](https://www.youtube.com/@racheline_nya)

3周前

哇，这个很有趣。我喜欢看到有人与这么大的社区分享！

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[@hadensnodgrass3472](https://www.youtube.com/@hadensnodgrass3472)

3周前（编辑过）

这看起来像是一个圆填充问题。想象一下最糟糕的情况，即圆尽可能紧密地排列。有没有一种情况会导致必须进行这种填充？20分钟后……我发现它比我最初想的要复杂一些，但应该可以用9个点强制进行填充，因此10个点是最小的点数，可以确保有一个点无法被圆覆盖。我还尝试将其扩展到三维空间中的球体，我认为应该可以用16个球体进行强制填充，因此17个点应该是最小的数量，可以确保有一个点不在球体内。我的草稿计算……一般公式是（n=维度）：(n + 1)^2 + 1 （我不确定这是否适用于n=4）。你们怎么看？

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[@MprM-l_e](https://www.youtube.com/@MprM-l_e)

3周前

我最近在准备学校奥林匹克竞赛时解决了这个问题。令我惊讶的是，当我试图找到最大n，使得n个点可以被单个圆覆盖时，确切的答案仍然是一个开放性问题！据我所知，目前最好的反例是44个点。在更高维的空间中，最小估计值是多少？

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[@Test1-i9u](https://www.youtube.com/@Test1-i9u)

3周前

我们都知道六边形是最好的多边形，但我希望这不是关于正方形内圆优化的问题。我的建议是使用7个点作为蜂巢结构，并将最后3个点放置在适当的位置，以防止打包的圆移动超过9个点，就像晶格中的一个恼人的缺陷一样。

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[@abhishekdixit638](https://www.youtube.com/@abhishekdixit638)

11天前

我怎么能在三个月的时间里完全错过这个问题？

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[@nicecube2798](https://www.youtube.com/@nicecube2798)

3周前

无法解决这个问题让我质疑是否有人在我获得工程学位时犯了错误。

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[@Nina-j3f6z](https://www.youtube.com/@Nina-j3f6z)

3周前

我的直觉告诉我答案是肯定的。

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[@QuargCooper](https://www.youtube.com/@QuargCooper)

3周前（编辑过）

多年前我听说过这个问题，这是我在外面最喜欢的证明之一。这真的是我遇到过的最接近“魔法”证明的东西，非常美丽。提示如下：——— 考虑二维平面中圆的最佳填充方式。再加上事件期望值的线性性质，就足以完全证明总是可以找到这样的覆盖。——— 进一步提示：二维平面中最佳圆填充方式大约覆盖0.907的面积。给定点被给定覆盖所覆盖的概率是多少？在十个点中，随机选择的覆盖预计会覆盖多少个点？这个期望值不是整数意味着什么？

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[@ΔημήτρηςΒαπόρης](https://www.youtube.com/@%CE%94%CE%B7%CE%BC%CE%AF%CF%84%CF%81%CE%B7%CF%82%CE%92%CE%B1%CF%80%CF%8F%CF%81%CE%B7%CF%82)

3周前

直观上，我想到了点形成一个围绕原点对称的正八边形，每个八边形顶点周围的单位圆正好在一个点相交。然而，即使在八边形内部放置2个点，似乎也可以通过移动圆的方式使最终形成的单位圆实际上是不相交的。

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