Microsoft Research 与合作者证明 31 年历史的 KLS 猜想

Microsoft Research ä¸Žåˆä½œè€ è¯æ˜Ž 31 年历史的 KLS 猜想 · AIHOT

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Xinzhi Zhang

2026-10-22 00:00

1 小时前

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Microsoft Research ä¸Žåˆä½œè€ è¯æ˜Ž 31 年历史的 KLS 猜想

Solving a 31-year-old grand challenge in mathematics – the KLS conjecture

AI 导读

Microsoft Research 的 Xinzhi Zhang 与 Zhao Song 证明 1995 年提出的 Kannan–Lovász–Simonovits（KLS）猜想，表明对数凹分布的最优平面切割与任意形状切割的差距不随维度增长，以普适常数为界。

推荐理由

å¾®è½¯ç ”ç©¶å‘˜äº²è¿°è¯æ˜Žè¿‡ç¨‹ï¼Œå±•ç¤ºäº†äººç±»å¼•å¯¼å¤šæ™ºèƒ½ä½“è¿­ä»£å‰ªæžçš„ç§‘ç ”åä½œæ–¹å¼ï¼Œçº¦ç™¾æ¡ç ”ç©¶è·¯å¾„ä¸­ç­›å‡ºå ³é”®åˆ¤æ®ã€‚

正文 · AI 翻译

å¾®è½¯ç ”ç©¶å‘˜ä¸Žåˆè‘—è€ å°†æ–°çš„æ•°å­¦æ€æƒ³ä¸Žäººç±»å¼•å¯¼çš„ AI ç›¸ç»“åˆï¼Œè§£å†³äº†é«˜ç»´å‡ ä½•ä¸Žæ¦‚çŽ‡è®ºä¸­çš„ä¸€ä¸ªæ ¸å¿ƒé—®é¢˜

概览

• åŸºç¡€æ€§ç§‘å­¦çªç ´ï¼š ç ”ç©¶äººå‘˜è§£å†³äº† Kannan-Lovász-Simonovits（KLS）猜想，这是一个已有 31 å¹´åŽ†å²çš„é—®é¢˜ï¼Œè¢«å¹¿æ³›è§†ä¸ºé«˜ç»´å‡ ä½•é¢†åŸŸçš„æ ¸å¿ƒæœªè§£é—®é¢˜ä¹‹ä¸€ï¼Œå¯¹ç»Ÿè®¡å­¦ã€ä¼˜åŒ–ã€ç®—æ³•å’Œè®¡ç®—æœºç§‘å­¦å‡æœ‰å½±å“ã€‚

• ä¸€æ¡æ™®é€‚çš„å‡ ä½•åŽŸç†ï¼š è¯¥ç»“æžœç¡®ç«‹äº†å¯¹æ•°å‡¹åˆ†å¸ƒçš„ä¸€æ¡æ™®é€‚å‡ ä½•åŽŸç†ï¼Œè¡¨æ˜Žç®€å•çš„å¹³å¦åˆ‡å‰²èƒ½å¤Ÿåœ¨å›ºå®šå€æ•°å† æ•æ‰åˆ°å®ƒä»¬æœ€çª„çš„ç“¶é¢ˆï¼Œä¸Žç»´æ•°æ— å ³ã€‚

• 人机协作： è¿™ä¸€çªç ´æºè‡ªä¸€ä¸ªç”±äººç±»å¼•å¯¼çš„æ™ºèƒ½ä½“ç ”ç©¶è¿‡ç¨‹ï¼Œå ¶ä¸­ AI ç³»ç»ŸæŽ¢ç´¢æ•°å­¦å¯èƒ½æ€§ï¼Œè€Œç ”ç©¶äººå‘˜åˆ™è¯„ä¼°ã€ç­›é€‰å¹¶é‡æ–°å¼•å¯¼æœç´¢æ–¹å‘ã€‚

• 独立验证： å¤šä½ç‹¬ç«‹ç ”ç©¶äººå‘˜å·²éªŒè¯è¿™é¡¹ç ”ç©¶ï¼Œè®¤å®šå ¶æ ¸å¿ƒåˆ¤æ®ä¸ºå ³é”®çªç ´ï¼ŒéšåŽè¿˜è¿›è¡Œäº†æœºå™¨æ ¡éªŒçš„å½¢å¼åŒ–éªŒè¯ã€‚

æ•°åå¹´æ¥ï¼Œä¸€ä¸ªå ³äºŽé«˜ç»´ç©ºé—´è®¡ç®—éš¾åº¦çš„æ ¹æœ¬æ€§é—®é¢˜ä¸€ç›´æœªèƒ½å¾—åˆ°è¯æ˜Žã€‚æ–°ç ”ç©¶è§£å†³äº†è¿™ä¸€é—®é¢˜ï¼Œæ¶ˆé™¤äº†ç†è§£ç§‘å­¦ä¸Žè®¡ç®—ä¸­å¹¿æ³›ä½¿ç”¨çš„éšæœºç®—æ³•æ•ˆçŽ‡çš„ä¸€å¤§ç†è®ºéšœç¢ã€‚

Kannan–Lovász–Simonovits（KLS）猜想于 1995 å¹´æå‡ºã€‚å®ƒè¿½é—®ï¼šå¯¹äºŽä¸€å¤§ç±»é«˜ç»´æ¦‚çŽ‡åˆ†å¸ƒï¼Œæœ€ä½³çš„å¹³å¦åˆ‡å‰²æˆ–è¶ å¹³é¢åˆ‡å‰²æ˜¯å¦æ€»æ˜¯å‡ ä¹Žä¸Žä»»æ„å½¢çŠ¶çš„æœ€ä½³åˆ‡å‰²åŒæ ·æœ‰æ•ˆã€‚æ›´å‡†ç¡®åœ°è¯´ï¼ŒKLS é¢„æµ‹ä¸¤è€ ä¹‹å·®ä¸è¶ è¿‡ä¸€ä¸ªæ™®é€‚å¸¸æ•°ï¼Œä¸Žç»´æ•°æ— å ³ã€‚è¿™å°†ç¡®ç«‹ä¸€æ¡ä¸Žç»´æ•°æ— å ³çš„å‡ ä½•åŽŸç†ï¼Œå¯¹é«˜ç»´å‡ ä½•ã€æ¦‚çŽ‡è®ºå’Œç†è®ºè®¡ç®—æœºç§‘å­¦å ·æœ‰é‡è¦å½±å“ã€‚ç”±äºŽè¿™äº›åˆ‡å‰²çš„å‡ ä½•æ€§è´¨å†³å®šäº†éšæœºæ¸¸èµ°æŽ¢ç´¢åˆ†å¸ƒçš„é€ŸçŽ‡ï¼ŒKLS åœ¨é«˜ç»´é‡‡æ ·ç†è®ºä¸­ä¹Ÿæ‰®æ¼”ç€æ ¸å¿ƒè§’è‰²ã€‚

图 1：正四面体上 KLS 猜想的示意图（简化版）。

自 1995 å¹´ä»¥æ¥ï¼Œæ•°å­¦å®¶ä»¬å·²ç§¯ç´¯äº†å¤§é‡è¯æ®è¡¨æ˜Žè¯¥çŒœæƒ³æˆç«‹ï¼Œä½†å®Œæ•´è¯æ˜Žå§‹ç»ˆéš¾ä»¥ä¼åŠã€‚å¦‚ä»Šï¼ŒåŒ æ‹¬å¾®è½¯ç ”ç©¶é™¢æœºå™¨å­¦ä¹ å’Œä¼˜åŒ–ç»„çš„ Xinzhi Zhang åœ¨å† çš„ä¸¤ä½ç ”ç©¶äººå‘˜ 证明了 KLS 猜想 ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ ã€‚ä»–ä»¬è¯æ˜Žäº†æ— è®ºä¸€ä¸ªå½¢çŠ¶æœ‰å¤šå°‘ç»´ï¼Œè¿™ä¸€å ³ç³»éƒ½ä»¥å›ºå®šç•Œæˆç«‹ã€‚åœ¨æ­¤é¡¹å·¥ä½œä¹‹å‰ï¼Œ2026 å¹´ 7 月确立的 最佳已知结果 ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ å è®¸è¯¥ç•Œéšç»´æ•°å¢žåŠ è€Œç¼“æ ¢å¢žé•¿ã€‚è¿™é¡¹å·¥ä½œç¡®ç«‹äº†ä¸€æ¡åŸºæœ¬å‡ ä½•åŽŸç†ï¼šé«˜ç»´ç©ºé—´çš„è¡¨çŽ°æ¯”æ­¤å‰æ‰€çŸ¥æ›´å¥½ï¼Œä¸”åœ¨å ¶é—´ç©¿è¡Œçš„éšœç¢ä¸ä¼šéšç»´æ•°å¢žåŠ è€Œæ— ç•Œå¢žé•¿ã€‚

早在KLSçŒœæƒ³è¢«è§£å†³ä¹‹å‰ï¼Œå ¶é‡è¦æ€§å°±å·²åœ¨æ•´ä¸ªé¢†åŸŸå¾—åˆ°å ¬è®¤ã€‚åœ¨2017-18年度报告中， æ•°å­¦ç§‘å­¦ç ”ç©¶æ‰€ï¼ˆMSRI） ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ ç§°å ¶ä¸ºâ€œé«˜ç»´å‡¸å‡ ä½•ä¸­çš„ä¸€ä¸ªæ ¸å¿ƒæœªè§£é—®é¢˜â€ã€‚ è¥¿è’™æ–¯ç ”ç©¶æ‰€ ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ å°†å ¶æè¿°ä¸ºâ€œå‡¸å‡ ä½•ä¸­æœ€é‡è¦çš„æœªè§£é—®é¢˜ä¹‹ä¸€â€ã€‚åœ¨ 2022å¹´å›½é™ æ•°å­¦å®¶å¤§ä¼šï¼ˆICM） ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ 的会议录中，Ronen EldanæŒ‡å‡ºäº†å®ƒå¯¹é«˜ç»´å‡¸å‡ ä½•ä¸Žè®¡ç®—å‡ ä½•çš„å¹¿æ³›å½±å“ã€‚ Quanta Magazine ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ 写道，KLSâ€œå¤„äºŽç»Ÿè®¡å­¦å’Œè®¡ç®—æœºç§‘å­¦ä¸­è®¸å¤šé—®é¢˜çš„æ ¸å¿ƒâ€ã€‚

技术细节

ä½œè€ é¦–å ˆæ”¹è¿›äº†2026å¹´7月的结果，以使数学界更精确。在结构化、由人类主导的流程中与AI智能体协作，他们探索了100å¤šç§å€™é€‰æ–¹æ³•ï¼Œå ¶ä¸­è®¸å¤šæ¶‰åŠé«˜é˜¶å¼ é‡çš„å†—é•¿è®¡ç®—ã€‚è¿™äº§ç”Ÿäº†ä¸€ä¸ªæ–°çš„æ•°å­¦åˆ¤æ®ï¼Œæˆä¸ºæœ€ç»ˆè¯æ˜Žçš„åŸºç¡€ã€‚

éšåŽï¼Œä½œè€ å‘çŽ°è¿™ä¸€æ–°åˆ¤æ®å¯ä»¥é€’å½’åº”ç”¨ã€‚æ¯ä¸€ä¸ªæ”¹è¿›åŽçš„ç•Œéƒ½å¯ä»¥åé¦ˆå›žåŒä¸€è®ºè¯ï¼Œä»Žè€Œäº§ç”Ÿæ›´ç´§çš„ç•Œã€‚åœ¨2026å¹´10月1æ—¥ç‰ˆæœ¬çš„è®ºæ–‡ä¸­ï¼Œè¿™å°†ç»´åº¦ä¾èµ–æ€§é™ä½Žåˆ°è¿­ä»£å¯¹æ•°ã€‚è¯¥å‡½æ•°å¢žé•¿æžä¸ºç¼“æ ¢ï¼Œä½†ä»éšç»´åº¦å¢žé•¿ï¼Œå› æ­¤å°šæœªå®Œå ¨è§£å†³è¯¥çŒœæƒ³ã€‚

æœ€åŽä¸€æ­¥æ˜¯é‡å¤æ•´ä¸ªé€’å½’ç²¾åŒ–è¿‡ç¨‹ï¼Œè€Œä¸æ˜¯åªåº”ç”¨ä¸€æ¬¡ã€‚è¿™ä¸€æƒ³æ³•å—åˆ°ä½œè€ æ­¤å‰å ³äºŽçº¿æ€§è§„åˆ’å¿«é€Ÿç®—æ³•å·¥ä½œçš„å¯å‘ã€‚ä½œè€ è¯æ˜Žï¼Œæ¯ä¸ªé˜¶æ®µå¼•å ¥çš„å°è¯¯å·®æ”¶ç¼©å¾—è¶³å¤Ÿå¿«ï¼Œå ¶æ€»å’Œè¢«ä¸€ä¸ªä¸Žç»´åº¦æ— å ³çš„é€šç”¨å¸¸æ•°æ‰€ç•Œå®šã€‚è¿™æ¶ˆé™¤äº†å¯¹ç»´æ•°çš„ä¾èµ–ï¼Œå¹¶åœ¨2026å¹´10月4日版本的论文中完成了证明。

é€’å½’æ–¹æ³•ã€å ¶é‡å¤åº”ç”¨ï¼Œä»¥åŠç´¯ç§¯è¯¯å·®ä¿æŒæœ‰ç•Œçš„è¯æ˜Žï¼Œéƒ½æ˜¯ç ”ç©¶è€ çš„åŽŸåˆ›è´¡çŒ®ã€‚AIå·¥å ·å¸®åŠ©æŽ¢ç´¢å€™é€‰æ–¹æ³•ã€è¿›è¡Œè¯¦ç»†æŽ¨å¯¼ã€å‡†å¤‡æ‰‹ç¨¿å¹¶æ‰§è¡Œå† éƒ¨è¯æ˜Žæ£€æŸ¥ã€‚ç ”ç©¶è€ ç¡®å®šäº†æ•°å­¦æ–¹å‘ï¼Œé€‰å‡ºäº†æœ‰å‰æ™¯çš„æƒ³æ³•ï¼Œå°†å®ƒä»¬æ•´åˆä¸ºæœ€ç»ˆè®ºè¯ï¼Œå¹¶éªŒè¯äº†è¯æ˜Žã€‚

独立确认

åœ¨ä½œè€ å‘å¸ƒå®Œæ•´è¯æ˜Žçš„åŒä¸€å¤©ï¼Œå¦ä¸€ç»„é¡¶å°–ä¸“å®¶ 发布了一份完整证明 ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ ，是他们并行开发的。他们的工作建立在微软论文 第一版 ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ çš„å‘çŽ°ä¹‹ä¸Šï¼Œç§°å ¶ä¸ºâ€œè¯æ˜Žä¸­çš„å ³é”®ä¸€æ­¥â€ã€‚åŒæ—¥å•ç‹¬å‡ºçŽ°çš„ 第三份证明 ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ ä¾èµ–äºŽä¸€ä¸ªå¯†åˆ‡ç›¸å ³çš„æƒ³æ³•ã€‚æ­¤å¤–ï¼ŒéšåŽå‘å¸ƒäº†ä¸€ä¸ª Lean 4形式化 ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ ï¼Œå°†ç¬¬ä¸€ç¯‡å¾®è½¯è®ºæ–‡çš„å ³é”®åˆ¤æ®ä¸Žé¢å¤–ç ”ç©¶ç»“åˆèµ·æ¥ã€‚

ç‹¬ç«‹è¯æ˜Žæ˜¯æ•°å­¦ä¸­æœ€æœ‰åŠ›çš„éªŒè¯å½¢å¼ä¹‹ä¸€ï¼Œå› ä¸ºå®ƒä»¬è¡¨æ˜Žä¸€ä¸ªç»“æžœå¹¶ä¸ä¾èµ–äºŽå•ä¸€çš„æŽ¨ç†é“¾æ¡ã€‚éšåŽå‡ºçŽ°çš„æ›¿ä»£æ–¹æ³•å’Œå½¢å¼åŒ–éªŒè¯è¿›ä¸€æ­¥å¢žå¼ºäº†äººä»¬çš„ä¿¡å¿ƒï¼Œå³è¯¥é¢†åŸŸå‘çŽ°çš„æ˜¯ä¸€ä¸ªçœŸæ­£çš„åº•å±‚åŽŸç†ï¼Œè€Œéžè„†å¼±çš„æŠ€æœ¯è®ºè¯ã€‚ä½œè€ è¿˜ç¼©çŸ­äº†ä»–ä»¬çš„è¯æ˜Žï¼Œå¹¶åœ¨ Lean ä¸­éªŒè¯äº†ç²¾ç®€åŽçš„è®ºè¯ï¼›ä»–ä»¬è®¡åˆ’åœ¨æœ€ç»ˆå®¡æŸ¥åŽå‘å¸ƒä¸¤è€ ã€‚è¿™äº›è¿›å±•å ±åŒæä¾›äº†äº’è¡¥å½¢å¼çš„ç¡®è®¤ã€‚

人机引导

在证明 KLS çš„è¿‡ç¨‹ä¸­ï¼Œè¿™é¡¹ç ”ç©¶è¿˜å±•ç¤ºäº†è®©ç ”ç©¶äººå‘˜å¼•å¯¼ AI 的力量，而不是简单地要求 AI é€šè¿‡å‰æ²¿æ¨¡åž‹æˆ–æ™ºèƒ½ä½“çš„å•æ¬¡ç«¯åˆ°ç«¯è¿è¡Œæ¥è§£å†³ä¸€ä¸ªå¤æ‚é—®é¢˜ã€‚ä½œè€ ä½¿ç”¨äº†ä¸€ç§å¸¦æœ‰è¿­ä»£å¼ã€äººå·¥è¾ åŠ©â€œå‰ªæžâ€çš„æ™ºèƒ½ä½“æœç´¢è¿‡ç¨‹ï¼šå½“å¤šä¸ªæ™ºèƒ½ä½“å¹¶è¡ŒæŽ¢ç´¢ä¸€ä¸ªæƒ³æ³•çš„å„ç§å˜ä½“æ—¶ï¼Œç ”ç©¶äººå‘˜æ£€æŸ¥å®ƒä»¬çš„ä¸­é—´ç»“æžœï¼Œå‰”é™¤æ²¡æœ‰å¸Œæœ›çš„æ–¹å‘ï¼Œå¹¶å°†æœ€æœ‰å¸Œæœ›çš„ç»“æžœä¼ é€’åˆ°ä¸‹ä¸€è½®ã€‚åœ¨å ³é”®çªç ´å‡ºçŽ°ä¹‹å‰ï¼Œå¤§çº¦æŽ¢ç´¢äº†ä¸€ç™¾æ¡ç ”ç©¶è½¨è¿¹ã€‚

åœ¨é¡¹ç›®çš„å¦ä¸€æ¡ç‹¬ç«‹è·¯çº¿ä¸­ï¼Œä½œè€ ä½¿ç”¨å‡ ä¸ªé¢†å ˆçš„ AI æ¨¡åž‹å¯¹åŒä¸€é—®é¢˜è¿›è¡Œäº†å¤šæ¬¡æ— å¼•å¯¼çš„å°è¯•ï¼Œä½¿ç”¨çš„æ€» token é¢„ç®—ä¸Žä¸»æµç¨‹å¤§è‡´ç›¸åŒã€‚è¿™ä¸€åŠªåŠ›æœªèƒ½è¾¾åˆ°ç›®æ ‡ã€‚æœ€ç»ˆçš„æˆåŠŸæ—¢å–å†³äºŽ AI ç³»ç»Ÿçš„èƒ½åŠ›ï¼Œä¹Ÿå–å†³äºŽç ”ç©¶äººå‘˜çš„æ•°å­¦åˆ¤æ–­åŠ›ã€‚

结论

综上所述，解决 KLS è§£å†³äº†é«˜ç»´å‡ ä½•ä¸­çš„ä¸€ä¸ªæ ¸å¿ƒé—®é¢˜ã€‚æ­¤å‰ä¾èµ–è¯¥çŒœæƒ³ä½œä¸ºå‡è®¾çš„å¹¿æ³›ç»“æžœçŽ°åœ¨å¯ä»¥åœ¨æ— æ¡ä»¶ä¸‹é™ˆè¿°ã€‚å› æ­¤ï¼Œè¯¥è¯æ˜Žä¸ºå‡¸å‡ ä½•ã€æ¦‚çŽ‡è®ºå’Œç†è®ºè®¡ç®—æœºç§‘å­¦çš„ç ”ç©¶æä¾›äº†æ›´åšå®žçš„åŸºç¡€ã€‚

è¿™é¡¹å·¥ä½œè¿˜å±•ç¤ºäº†ç»è¿‡ç²¾å¿ƒå¼•å¯¼çš„äººæœºåä½œå¦‚ä½•èƒ½å¤Ÿä¸ºçœŸæ­£çš„ç§‘å­¦å‘çŽ°åšå‡ºè´¡çŒ®ï¼ŒåŒæ—¶å¢žå¼ºè€Œéžå–ä»£äººç±»çš„æ´žå¯ŸåŠ›ã€‚å®ƒçªæ˜¾äº†ç§‘å­¦åˆ¤æ–­åœ¨è¯†åˆ«æœ‰å¸Œæœ›çš„æ–¹å‘ã€è®¤è¯†æ¦‚å¿µè”ç³»ä»¥åŠçœ‹å‡ºéƒ¨åˆ†æ´žå¯Ÿä½•æ—¶æŒ‡å‘æ›´æ·±å±‚ç»“æžœæ–¹é¢çš„æŒç»­é‡è¦æ€§ã€‚ä½œè€ çŽ°åœ¨æ­£åœ¨ç®€åŒ–è¯æ˜Žå¹¶æ‰©å±•å ¶å½¢å¼åŒ–éªŒè¯ï¼Œä»¥ä¾¿æ•°å­¦å’Œç†è®ºè®¡ç®—æœºç§‘å­¦ç•Œèƒ½å¤Ÿæ›´å®¹æ˜“åœ°å®¡æŸ¥è¿™ä¸€ç»“æžœå¹¶åœ¨æ­¤åŸºç¡€ä¸Šç»§ç»­å‘å±•ã€‚

致谢

æ„Ÿè°¢æˆ‘ä»¬çš„åˆè‘—è€ Zhao Song 对这项工作的贡献，以及 Victor Reis ï¼ˆåœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€ï¼‰ 和 Ishai Menache 在整个项目过程中的有益讨论。

åœ¨æ–°æ ‡ç­¾é¡µä¸­æ‰“å¼€

æ–‡ç« è§£å†³æ•°å­¦é¢†åŸŸä¸€ä¸ª 31 年的大挑战——KLS 猜想 首次出现在 Microsoft Research 。

来源： Microsoft Research 博客 · microsoft.com

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