用贝叶斯推理破解谋杀谜案

标题：使用贝叶斯推断破解谋杀谜案

来源网址：https://towardsdatascience.com/solving-a-murder-mystery-using-bayesian-inference/

发布日期：2026-05-31T17:00:00+00:00

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我还记得观看好莱坞悬疑惊悚片《利刃出鞘》时，身体前倾，仿佛这桩案件是我自己要解开的。当侦探布兰克的团队在索姆伯雷庄园逐一审问每个人时，我也在脑海中划掉名字，但每当剧情出现转折，又会重新将他们列入嫌疑人名单。那时我从未意识到，这种老派的“谁干的”推理剧其实正在让我在脑中进行数学运算。虽然听起来有些牵强，但我坚信，本诺·布兰克的调查风格与贝叶斯推断高度相似。然而，熟悉电影中审讯场景的人很快就会发现，本诺·布兰克实际上并未亲自审问任何人——他只是坐在钢琴旁，让他的团队（艾略特警官和瓦格纳警员）提问。那么，为什么我会说布兰克的调查方式与贝叶斯推断有关呢？他在电影中自己就提到了这一点，我引用原文：

“我观察事实，不带任何头脑或情感的偏见。”（本诺·布兰克，《利刃出鞘》[1]）

这正是贝叶斯推断的核心精神——我们的结论不应由直觉驱动，而应基于证据。让我们一起用贝叶斯推断来破解这个谋杀谜案。

在开始之前，先说明几点。整部电影中，矛盾以两种形式呈现：一种是通过闪回镜头展现，仅面向观众，布兰克本人并不知情；另一种是布兰克在调查过程中通过言语不一致所察觉到的矛盾。因此，我们只关注布兰克所观察到的口头矛盾。

另外，关于概率权重的设定与更新说明：这些并非通过贝叶斯公式计算得出，因为像“行为回避”或“撒谎”这类行为证据很难赋予精确的似然值。我们采用的是基于经验的估算，作为教学工具，并非数学证明。希望你能享受这段探索之旅。

奠定基础 —— 建立初始信念

侦探布兰克受某位家族成员匿名委托，调查哈兰·索姆伯雷是否可能遭谋杀。当他的团队开始审讯时，布兰克安静地从后方观察潜在嫌疑人。当审讯偏离正轨时，他会轻敲钢琴键，引导团队回归正题。

他注意到，每一段对话都充斥着谎言与矛盾。他做得正确之处在于，并未因主观直觉而轻易否定某个说法，同时也不盲目相信另一个未经证实的版本。他明白，误导性的陈述中可能夹杂着部分真相。他仔细评估每一次互动，为每个观察结果分配权重，再综合所有信息得出结论。他从不确定性出发，逐步逼近最有可能的真相，同时排除个人偏见的影响。

布兰克首先列出可能导致死亡的原因。在贝叶斯世界中，这被称为“先验模型”。先验模型是我们尚未获得任何证据前所持有的假设集合。在此案例中，先验模型即调查启动前对索姆伯雷之死所提出的初步假说。

照片由 Aleyna Çatak 拍摄于 Unsplash；作者修改

评估初始信念的完整性

让我们评估一下初始信念，看看是否遗漏了其他可能性。我们有没有忽略“这是一次栽赃他人”的可能性？如果是，是否应将其列为第六个假设？

这时，贝叶斯推断中制定假设最重要的原则——MECE原则（相互排斥且穷尽所有可能性）——便发挥作用了。每一个作为贝叶斯推断组成部分的假设，都必须满足“互斥且穷尽”（Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive, MECE）。

我们回顾第六个潜在假设：“试图栽赃某人”。虽然选定的假设应解释导致死亡的原因，但此假设更侧重于死亡背后的动机——前提是已确认这是一起谋杀案。因此，它违反了MECE原则中的“互斥性”，故不能直接作为一个假设提出。

分配概率（先验概率）

我们继续沿用之前构建的假设，因为它们涵盖了所有可能的死亡原因（具有穷尽性）。下一步是为我们的初始信念分配概率。也就是说，我们需要对每个假设有多大可能造成哈兰·索姆伯雷之死做出一个有根据的猜测。由于我们在没有任何直接证据或数据前就进行赋值，因此称为“先验概率”。下图展示了我们为所有假设赋予相等权重的情形。暂且假设这些就是我们的先验概率。

先验概率的均匀分布（作者制图）

自然地，我们可能会问：每个假设发生的概率是否相同？答案是否定的。许多人误以为在贝叶斯推断中，我们必须给所有假设分配相同的概率。但在缺乏先验证据的情况下，我们假设侦探布兰克确实为每个假设赋予了相等的概率。但这并非总是如此。

我们也可以基于已有知识，假设各假说具有非均匀（不等）的先验概率，即某些假说比其他假说更有可能成立。例如，整体犯罪统计数据也可用于估算先验概率。以美国联邦调查局（FBI）的谋杀案数据为例 [2]，数据显示：在大多数谋杀案中，受害者认识凶手；而由外部人员实施的谋杀通常需要涉及入室盗窃或某种形式的报复动机。因此，H4（家庭成员作案）获得更高的权重，因为家庭成员更容易接触受害者。此外，在哈兰·托姆布雷（Harlan Thrombey）的案件中，由其家庭成员导致其死亡这一假说更具说服力，因为其家人可能因继承其财富与遗产而产生动机。在本场景中，理想的先验概率应为非均匀分布。

_为《利刃出鞘》谜案所选定的先验概率（作者供图）_

基于证据更新概率

让我们回顾一下玛塔（Marta）接受审讯的场景。玛塔患有某种病理状况，一旦说谎就会呕吐。但由于她最初误以为自己是因错换药物而导致托姆布雷死亡，因此她选择用部分真相和不完整回答来应对局面。

关键转折在于，侦探布兰克（Detective Blanc）早已知晓她的病情。那么，玛塔那些含糊其辞的回答是否引发了怀疑，并进而改变了各假说的权重？一种可能是：玛塔有杀害哈兰·托姆布雷的动机（支持“外人作案”理论——H5）；另一种可能是：作为护士的玛塔，可能犯下致命错误，导致托姆布雷丧命（H2）。此时，贝叶斯似然函数（Bayesian Likelihood Function）便十分有用——它能衡量每个假说对已观察到证据的解释能力。玛塔的表现不足以区分H2与H5，因此概率仅会小幅调整，而非剧烈变动。H2与H5的概率将略微上升，而H1与H3的概率则相应下降。

值得注意的一点是：一旦我们获得某种形式的证据（无论大小），并开始据此调整权重，我们就称其为后验概率（posterior probability）。根据上述分析，我们重新分配了各假说的概率值如下：

从图中可明显看出，权重已轻微向H2倾斜，但尚未出现显著变化。

_基于玛塔的半真半假陈述（作者供图）_

简洁却直接的矛盾 —— 贝叶斯黄金法则

在哈兰·托姆布雷生日派对上，谁当时紧邻他身边存在一个引人注目的矛盾点：哈兰的女儿琳达（Linda）声称自己与丈夫及儿子一同坐在哈兰旁边；而沃尔特（Walt）则表示自己及其家人当时就在哈兰身边。尽管该矛盾未必指向某一位具体人物，但它削弱了双方证词的整体可信度，从而提升了H4（家庭成员作案）的权重。

以下是更新后的概率分布：

_家人相互矛盾的陈述（作者供图）_

沃尔特将话题转向赎金

警官埃利奥特（Lieutenant Elliot）询问沃尔特，为何哈兰曾单独叫他谈话，以及为何之后沃尔特显得神情沮丧。沃尔特迟疑片刻后，将话题转向了拉桑（Ransom），称哈兰曾与拉桑发生争执。这表明沃尔特正在刻意回避自己与哈兰之间的对话。我们据此重新评估各假说的概率。

_关于拉桑态度的讨论（作者供图）_

母女陈述的矛盾

当布兰克团队询问乔妮（Joni）为何提前到场时，她称自己是想与哈兰商议女儿学费的线路问题；然而，乔妮的女儿梅格（Meg）却指出，祖父哈兰从未错过支付她的学费。这一矛盾极大提升了H4（家庭成员作案）的概率。

_乔妮与梅格——陈述矛盾（作者供图）_

遗嘱宣读场景——优化你的假说

截至目前，H4（家庭成员作案）的权重最高，有力支撑了“亲属作案”的理论。但当众人发现所有资产均被授予护士兼看护者玛塔时，整个怀疑焦点迅速转向她。在事件发生这一重大转折后，H5（外人作案）的权重几乎翻了三倍。家人怀疑玛塔曾操纵哈兰修改遗嘱，使其将财产转至自己名下。以下是更新后的概率分布：

_遗嘱宣读现场——玛塔获赠全部资产（作者供图）_

此时，一个名为“假说精炼”（Hypothesis Refinement）的重要概念便凸显出来。贝叶斯推理并不强制你固守最初的假说集合，而是允许你在获得更多证据时，对原有假说进行细化、拆分甚至拓展。在本例中，H5（外人作案）原本是一个较宽泛的总类；现在我们可以将其进一步细分为更具体的子假说。下图展示了我们更新后的假说空间及其对应权重：

_假说精炼（作者供图）_

突然之间，原本深爱玛尔塔的家人将她视为首要嫌疑人。然而，布兰克仍不相信玛尔塔有作案动机，因为毒理学报告表明哈兰并非死于吗啡过量。与家人凭直觉反应不同，布兰克是依据证据作出判断的。当他沿着证据线索追查时，发现方向发生了变化，指向了兰斯姆·德莱斯代尔（Ransom Drysdale）。

高潮——终极概率修正器

在调查过程中，几乎每位家庭成员（包括工作人员）都提到，兰斯姆·德莱斯代尔与其祖父哈兰之间曾爆发激烈冲突，导致兰斯姆提前离场。此外，兰斯姆在哈兰遇害次日并未现身，这也成为新的佐证。然而，直到兰斯姆在遗嘱宣读当天现身前，其作案动机仍不明确。哈兰的另一位孙子雅各布提到，他曾听到兰斯姆在愤怒离开前对祖父说：“遗嘱”和“我警告你”。面对家人的质询，兰斯姆承认自己早已知晓自己被剔除出遗嘱。侦探布兰克全程观察着这一切，意识到这或许正是兰斯姆杀害哈兰的动机。基于此新证据，我们更新了原有假设。由于 H4（由家庭成员实施谋杀）是一个更宽泛的范畴，我们进一步细化为更具体的子假设。下图展示了我们更新后的假设空间及其对应权重：

概率转向兰斯姆——因被剔除遗嘱而心生怨恨（作者供图）

请注意，随着新证据出现——即毒理学报告未显示吗啡过量致死，以及兰斯姆因未被纳入遗嘱而愤怒——玛尔塔作为凶手的可能性急剧下降。后验概率会随着可靠证据的不断涌现而动态调整。这正是贝叶斯推理之所以直观的原因：它基于条件概率，提出最诚实的问题——“在我目前已知的所有信息基础上，最可能的答案是什么？”

概率的动态演进（作者供图）

在上图中，可注意到玛尔塔的概率曲线偶尔骤降，而兰斯姆的概率则在后期因新证据不断攀升。

结论——为何未能收敛至 H3？

如前所述，《利刃出鞘》为我们提供了一个绝佳范例，用以说明在不确定性下的推理过程——而这正是贝叶斯推断的核心前提。起初，由于每段对话中均存在矛盾，家庭成员作案的可能性上升；但随着关于玛尔塔的新证据浮现，怀疑对象逐渐转向她；而当兰斯姆登场并揭示其与哈兰的争执后，概率最终聚焦于他。事实上，哈兰本人实为自杀，目的是保护玛尔塔——二人皆误以为玛尔塔曾给予他致命剂量的吗啡。那么，贝叶斯推断是否失败了？因为它并未收敛至 H3（自杀死亡）？有时真相是分层的：在此案中，兰斯姆故意调换了药物，并取走了解药，唯一目的便是促成哈兰之死。因此，尽管兰斯姆并未直接动手杀害哈兰，但他确实策划了其死亡。贝叶斯推理方法超越了哈兰死亡的表面原因（即自杀），深入挖掘了事件背后的深层逻辑。若能以中立心态对待该方法，贝叶斯推断便能有效引导我们揭开表象之下层层隐藏的真相。

参考文献

[1] 《利刃出鞘》官方剧本（作者：导演瑞恩·约翰逊） https://rian-johnson.com/pdfs/knives-out.pdf

[2] 美国联邦调查局凶杀数据 https://ucr.fbi.gov/crime-in-the-u.s/2019/crime-in-the-u.s.-2019/topic-pages/expanded-homicide